図形処理･計算処理実習No.3　Glibwv.hを使ったグラフィックス(2)　３次元座標変換

２０００．４．２６　KPC　情報技術科　　関谷

0.　前回のレポートを見てのコメント、色の反転

作図プログラムやデータの説明を付けること。

　レポートには、結果の図をどのように作図したかを説明して欲しい。(プログラム名やその内容、実行でのデータなどです。前回のプログラムについては、プログラム名やパラメータを図の上部に表示するように変更したので、再度、コピーして実行してみること。）

色の反転について

　Wordなどに直接に画面のPrintScreen（クリップボード）を貼り付けると、印刷時に背景が真っ黒になってしまう。描画した線などが分かりにくい。 そのため、一度ペイントに貼り付けた後で、色の反転をしてそれを再度コピーして、Wordに貼り付けることをした。
　しかし、これは面倒である。slsの長方形を排他的論理和で塗りつぶす関数rectfillXOR()を最後に呼べば、色の反転をすることが出来る。そこで、ファイル・サーバのｓｌｓを使ったＣ言語のプログラムは、すべて、この方法に変更したものをコピーしている。

1.　２次元座標変換、Glibwv.hとそのビューポート座標系についての補足

２次元座標変換式をベクトルで考える

　２次元座標変換（対称移動、平行移動、回転移動、拡大・縮小）式は、河西の8.2節に解説がある。
　これらの変換式については、変換前のある点(x0,y0)を原点からのベクトルの成分表示と考えると、変換後の成分（ｘ、ｙ）は、前のそれぞれの成分ごとの回転による座標を加えることで求まる。これは、三角関数の加法定理を使うものよりも分かりやすい。なお、２Ｄでの回転は、３Ｄでのｚ軸回りの回転に相当する。

２次元座標変換の実装方法-自作かグラフィックライブラリを使うか

　２次元座標変換は、Glibwv.hをもとに、河西の８．２節-Ｃ言語での関数mirror(),rotate(),multi()などを自作する-で実現できた。
これに対して、Java２Ｄでは、AffineTransformクラスとして、準備されており、単にそれらのメソッドを指定するだけで使えるようになっている。 （中山茂著、Java2グラフィックスプログラミング入門、技術評論社、1999.3、pp.228-236）

Glibwv.hでのビューポート座標系

　小生の移植では、図8.4での仮想物理座標系（原点をスクリーン左下）を使わず、原点は左上隅として、ビューポートの左下隅と右上隅を指定するようにしている。

ビューポートの効果と自作関数

　ビューポートを変えることで、同じ図形データでの描画処理をしても、表示される大きさを変えることが出来る。（例題５７での実行例を参照のこと。）今回の3次元処理での例のように、違った処理結果の表示も並べて表示できる。
　このように、Glibwv.h自体が、2次元座標変換を利用している。これらの自作関数を準備しておけば、それを使うことで、図形処理が相当に便利になる。

２．3次元座標変換

　3次元空間にある物体を紙やＣＲＴという2次元平面に作画するには、透視図法や軸測投影などを使う。

２．１　軸測投影（平行光線によるｘ-ｙ平面への投影）

１）立体をｘ、ｙ、ｚ軸回りに回転変換する。

　回転角の正方向は､各軸の正方向に向かって右ねじを回す向きとし、x軸、y軸、ｚ軸回りの回転角をそれぞれ、α、β、γとする。回転の順序をｙ軸→x軸→ｚ軸の順に行うものとすると、点（ｘ、ｙ、ｚ）は、次のように変換される。
（これも、3次元空間のベクトルの成分表示と考えて、それぞれの成分の計算を加えることで求まる。）　

　y軸回りにβ回転　-＞
　　ｘ１＝ｘcos（β）＋ｚsin（β）　
　　ｙ１＝ｙ
　　ｚ１＝−ｘsin（β）＋ｚcos（β）
　
　ｘ軸回りにα回転　-＞
　　ｘ２＝ｘ１
　　ｙ２＝ｙ１cos（α）−ｚ１sin（α）　
　　ｚ２＝ｙ１sin（α）＋ｚ１cos（α）

　ｚ軸回りにγ回転　-＞
　　ｘ３＝ｘ２cos（γ）−ｙ２sin（γ）　
　　ｙ３＝ｘ２sin（γ）＋ｙ２cos（γ）
　　ｚ３＝ｚ２

２）上の回転で得られた座標をｚ＝０（ｘ−ｙ平面）に平行投影する。

　これは、上の結果の（ｘ３、ｙ３、ｚ３）のうち、ｚ３を無視すること。
　したがって、上の示した式のｚ２、ｚ３は不用となる。

例題５９　家のデータを軸測投影で表示するプログラム

　家のデータは、構造体配列に格納している。
　３つの回転量は、角度でキーインする。
　3種のパラメータの投影図を、スクリーンでは、横に並べて表示する。

例題５９　家のデータを軸測投影で表示(3 View)
この一番右の図では、家を床下から見ているのであるが、最初は、そのようには見えないであろう。ワイヤーフレーム表示でなく、光を当てて、壁面を考慮した陰線消去などをしないと、なかなかに、正確には見れないことが分かる。

２．２　透視変換

　軸測投影では、投影面に対し平行光線を当てて投影した。透視では、ある点に向かって収束する光を当てる。この点を投影中心(消失点）と呼び、ｚ軸上にとることにする。これの絶対値が大きければ、遠近感が小さくなる。
逆に､立体に近ければ、遠近感が強調される。
　透視では、投影中心に対する立体の位置が異なると、立体の見え方が変わる。立体が投影中心より上方にあれば、立体を見上げるように透視される。
　透視では、立体の回転に加え、平行移動の操作が加わる。
　
　y軸回りのβ回転と、ｘ、ｙ、ｚ方向の平行移動量をｌ、ｍ、ｎとし、投影中心をｚ＝−ｖｐとする。また，変換後の点は、ｚ＝０平面（ｘ−ｙ平面）に透視するものとする。
　変換式は、つぎのようになる。
まず、回転と平行移動により、
　　ｘ１＝ｘcos(β) + ｚsin(β)　＋ｌ
　　ｙ１＝ｙ＋ｍ
	ｚ１＝−ｘsin(β) + ｚcos(β)　＋ｎ
が得られ、これをｚ＝０平面に透視すると、つぎのようになる。
　　ｐｘ＝ｘ１／ｈ
　　ｐｙ＝ｙ１／ｈ
　　　ただし、ｈ＝（ｚ１＋vp　）／　vp
　　　　　　　　＝−ｘsin(β)／vp＋ｚcos(β)／vp＋ｎ／vp＋1.0
この透視は２点透視といわれ、最も使われる方法である。β＝０のときは単点透視となる。

練習問題５９　透視プログラム

練習問題５９　家のデータを透視で表示(3 View)

２.３ 投影、透視のプログラムの解析と改造など

例題を参考に、皆さんの描きたい図形データなどを用意して、プログラムを改造し、作品を作りなさい。

２.４　レポートの提出方法

１）WordあるいはFrontPageExpressに、考察、ソースリスト、実行グラフィックス画面を貼り付けたものを「Webページ」の形式(拡張子はhtml)で、各自のMyHomeに、cg_03などの名前をつけて保存する。

２）情報系Webサーバが、Turbolinuxで再構築されたので、そのWebページにindex.htmlからのハイパーリンクを作って、登録する。(注を参照のこと。概略は以下のとおり。））
　htmlファイルは、Wordなどで、Webページとして保存する(前述）。そして、ホームページindex.htmlから、今回のレポートページへのリンクを張る。それらを各自のWebサーバのホームディレクトリの直ぐ下のpublic_htmlフォルダ（サブディレクトリ）にftpすること。

注）　Ｗｅｂページの作り方については、関谷のＷｅｂページの「個人ホームページの作成と更新」のページを参照のこと。（Webサーバの再構築が完了した。）
(なお、ローカルのホームページフォルダは、c:\でなく、各自のサーバのﾎｰﾑ（H:)ドライブに作ること。）
　作業としては、public_htmlフォルダの作成とそこでのindex_htmlファイルの変更−名前を表示したり、今回のページに対するリンクを作る−が必要になる。